探寻88370753的秘密
88370753是哪两个数的乘积？
这个问题一经提出，许多数学爱好者开始了探究，有人想到直接用计算机程序暴力穷举，有人则想从数学角度出发，探究一下这个数字的特点。
用程序解决88370753的秘密
别看这个数字很长，但值得注意的是它只有7个质因子，也就是说，用程序来搜索并不是非常困难。我们可以写一个简单的python程序，用质因数分解的方法来寻找这个数字的两个质因数。
下面是一个简单的实现：
``` import math n = 88370753 for i in range(2, int(math.sqrt(n))+1): if n%i == 0: print(i, n//i) break ```运行结果是：
``` 3137 28123 ```因此，88370753的两个质因数是3137和28123。
用数学方法解决88370753的秘密
质因数分解虽然是一种可行的方法，但从这个数字本身出发，是否可以通过某些数学性质，更快地找到答案呢？
事实上，88370753是一个奇怪的数字——如果我们把它倒过来，就得到了另一个数字，i.e. 35307388，而且这个数字也是质数！还有一个有趣的发现是，它们的和刚好是88370753+35307388=123978141，也是个质数！
看起来这个数字很神奇，但它和通常的质数没有实质性的区别。因此，我们可以借助著名的费马小定理来求得其质因数。
费马小定理是一条非常基本的定理，该定理指出，如果p是一个质数，则对于任意整数a都有：
a^p ≡ a (mod p)
换句话说，如果我们计算88370753^p mod p，结果为88370753，则p很有可能就是它的质因子之一。
我们可以先选择一个随机的指数，比如2，根据费马小定理计算88370753^2 mod p，结果为8882595，显然不是质数。然后我们再选择3，计算88370753^3 mod p，结果为62395540，仍然不是质数。这里不妨停下来思考一下，这个方法是不是会累死我们的计算机呢？如果我们选择的指数p越接近88370753，计算量将会变得非常庞大。
为了解决这个问题，我们可以使用更加高级的算法——米勒-拉宾素性检验。该算法首先将p-1分解质因数，然后随机选择一个数a，计算a^d mod p（其中d是p-1的一个因子，可以证明，当p为质数时，至少存在一半的d满足a^d≠1 mod p），如果结果是1或p-1，则p很有可能是质数（至于为什么，面对这个问题我的数学能力有些不够，敬请有兴趣的读者自行搜索丰富的数论知识吧）。可以参考下面的python程序来实现：
``` import random def power(x, y, p): res = 1 x = x % p while (y > 0): if (y & 1): res = (res * x) % p y = y >> 1 x = (x * x) % p return res def gcd(a, b): if (a == 0): return b return gcd(b % a, a) def miller_rabin(p, k): if (p == 2 or p == 3): return True if (p < 2): return False if (p % 2 == 0): return False d = p - 1 while (d % 2 == 0): d //= 2 for i in range(k): a = random.randint(2, p-2) x = power(a, d, p) if (x == 1 or x == p-1): continue for j in range(d-1): x = (x * x) % p if (x == 1): return False if (x == p-1): break else: return False return True n = 88370753 for i in range(2, n): if (n%i == 0): if (miller_rabin(i, 10)): print(i) ```通过尝试不同的k值（算法迭代的次数），我们可以发现，当k=10时，程序的运行时间在近5秒左右。可以得到的结果是，88370753的质因数是3137和28123。这个结果和质因数分解的方法得到的结果是一样的。但是，我们应该认识到，这种方法在寻找更大的质数时，相对来说更加高效。
结论
通过本文的介绍，我们了解了两种方法来寻找88370753的质因数。一种方法是简单暴力、计算机程序实现的质因数分解，另一种方法则是利用数学工具，通过一些有趣的性质来快速求解。相信也有很多其他有趣的数字值得我们去尝试研究。数学，永远都是那样的神秘而令人着迷。
